第369章朗兰兹纲领（1 / 2）

1979年，罗伯特·朗兰兹突发奇想，觉得自己能统一整个数学。

“数学之间是可以联系的吧？”罗伯特·朗兰兹陷入深深的思索。

“一定的，数学是可以全部被统一的，任何一种类型的数学它背后的本质一定相同。”

对于朗兰兹来说，把每个数学模型背后真正的本质给找出来，并证明是同一个东西即可。

数论好理解。自守形式只不过是三角函数和椭圆函数的推广而已。群里最后也要转化成那种连续群来作为一个单位。

1988年，朗兰兹（Langlands）是第一个获得美国国家科学院数学奖的人。他获奖是由于“将群表示论带入到与自守形式理论和数论的革命性新关系的非凡远见”。

数学家一直想要找寻质数的规律。质数就像是数论的原子元素，是算法研究的基础。它们的数量是无限的，但它们的分布却似乎是随机地散落在数位中。为了找到质数中的规律，比如它们出现的频率，数学家必须将它们与其他事物联系起来。准确说来，质数就像一个密码，当你找到正确的阅读密钥时，它就变成了令人愉悦的信息。质数看起来非常随机，但通过朗兰兹纲领，就会发现它们有着一个非常复杂的结构，能够与各种其他事物联系起来。

2018 年3 月20 日，挪威科学与文学院宣布，2018 年度的阿贝尔(Abel)奖授予普林斯顿高等研究院的罗伯特?朗兰兹(Robert Langlands)，以表彰他提出了连接表示论和数论的极具远见的纲领。他所提出来的朗兰兹纲领试图构建数学中的大统一理论，这是一代代数学家所追求的目标。

罗伯特.朗兰兹，加拿大数学家，普林斯顿高等研究院的荣誉退休教授、加拿大皇家学会会员、伦敦皇家学会会员。其在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究，得出把它们统一在一起的朗兰兹纲领，并首先证明的情形，这个纲领推广了阿贝尔类体论、赫克(Hecke)理论、自守函数论以及可约群的表示理论等。

朗兰兹所提出的朗兰兹纲领探讨的是现代数学中的两大支柱数论与调和分析之间的深层联系。数论研究的数字之间的算法关系，被认为是最纯的数学领域;调和分析是数学的一个重要分支，研究及扩展富氏极数及富氏变换。之前，这两个领域被认为是毫无关联的，而它们之间的联系其实有着深远的影响，被数学家用来解答与质数性质有关的问题。同时，朗兰兹纲领提出了数论中的伽罗瓦(Galois)表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

有一个与质数结构相关的问题是:哪些质数能用两个质数的平方和表示。在17世纪，数论学家发现，所有能用两个质数的平方和表示的质数都有一个共同性质，当它们除以4 时，余1。这一发现揭示了质数的一种隐藏结构。到了18 世纪末期，数学家高斯(Gauss)对这一奇妙的关联进行了概括，它的互反律用公式将那些等于两个质数的平方和的质数，与除以4 余1这个特征联系了起来。在朗兰兹的信中，他在高斯发现的互反律基础上，提出了更广泛的延伸。

高斯的定律适用于指数不高于2 的二次方程。但朗兰兹认为，在三次、四次等高阶方程中产生的质数，应该与调和分析成互反关系。朗兰兹纲领就将多项式方程的质数值与分析和几何学中研究的微分方程的谱相联系到一起，并认为这两者之间应该存在互反关系。因此，我们应该能通过了解哪些数字出现在相应的光谱中，来表示哪些质数出现在特定的情况中。

1967 年，朗兰兹首次阐述了这一构想，当时年仅30 岁的朗兰兹在一封写给著名数学家安德烈?韦伊(Andr?e Weil)的信中提到了这一计划，这是一个思考数学的全新方式。在这封17页长的信中，他谦和的写道:「如果您愿意把它看作是纯粹的推测，我会很感激;如果不愿意，我相信您身边就有一个废纸篓。」

从那时起，一代又一代的数学家开始接受并扩展了他的构想。现在，朗兰兹纲领所涵盖的领域非常多，因此通常被认为是数学界的大统一理论。就数学史而言，这可以说是革命性的。

1979 年，朗兰兹发展了一项雄心勃勃的革命性理论，将数学中的两大分支数论和群论之间建立了新的联系。通过一系列的推测和分析，发现了与涉及整数的公式有关的不可思议的对称性，并以此提出朗兰兹纲领。朗兰兹知道，证明自己理论立基的假设这项任务需要几代人的共同努力，而证明基本引理将是证明这项假设的合理跳板。他和同事以及学生虽然能够证明这一基本定理的特殊情况，但证明普通情况所面临的挑战却大大超出他的预想。这项难度极高的工作整整历时30 年才由数学家吴宝珠证明完成。

朗兰兹纲领是当今数学领域非常活跃的研究方向，它联系了三种来源各异的数学对象:伽罗瓦表示(算术对象)、自守表示(分析对象)和代数簇的各种上同调理论(几何对象)，使得相应的三种不变量[阿廷L函数、自守L 函数、哈斯-威尔(Hasse-Weil) L 函数]相匹配。这三大领域的结合为数论问题提供了有力的杠杆，怀尔斯(Wiles)、泰勒(Taylor)等证明的谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想便是一个范例。朗兰兹纲领的核心问题是函子性(functoriality)猜想，蕴含了很多著名的猜想，如阿廷猜想、拉马努金猜想、佐藤-塔特(Misaki-Tate)猜想等。