第524章代数、分析与拓扑之间的桥梁（1 / 2）

柏原正树（Masaki Kashiwara）

D模（D-module）的工具。D模是一种由微分方程编织而成的精巧数学结构，是广泛应用于科学领域的、最基本的数学工具之一。

发现了所有不同类型的D模，以及它们之间的关联。

构建这些D模结构的基本单元是微分方程。微分方程属于数学分析的范畴，它描述变量之间的关系，处于现代科学的核心。例如，移动物体的速度就是通过微分方程表达的，它描述了运动距离与经过的时间之间的关系。

D模使用的框架来自于数学中一个抽象得多的分支——代数。在代数中，所有细节都被剥离，只专注于所涉及的抽象结构的核心。

D模连接了分析与代数这两个数学领域，使得一个领域的研究对象和方法可以进入另一个领域。柏原正树极大地发展了D模理论，使之成为一个全新的领域——代数分析的基础。

我们知道一个方程可能有多个解。例如，方程 =0 有 0、π、2π、kπ这一系列解。我们称方程是多值的。

另外，有些函数在一些点是没有定义的。例如函数1/x，当 x 趋近 0 时，函数值趋向于无穷大，它在 x=0 处是没有定义的。我们称这样的点为奇点。在奇点附近，方程的行为变得怪异。

如果这种多值性出现在奇点附近，而不是像sin函数一样周期性地变化，就会成为一个特殊的问题。

数学家用方程对应的单值群（monodromy group）来理解这种奇怪的行为。这种群描述当方程的解在奇点附近变化时产生的空间形状，也就是空间的拓扑结构。

在复平面上，函数在z=0处存在一个奇点。复平面上绕奇点整数圈的z，其的值都是相同的，也就是说，在复平面上，函数是多值的。如果围绕奇点构建一个如图所示的螺旋曲面，那么当z环绕奇点时，将从一个单叶分支进入另一个单叶分支，而不是回到原来的复平面，也就是说，函数变成了单值的。